Sur les unités utilisées dans un problème mathématique

Conseils, méthodes & astuces pour le concours de recrutement des professeurs des écoles

Il arrive souvent dans un problème mathématique d'avoir à manipuler des unités. C'est un point de vigilance important. C'est pourquoi, nous vous donnons les conseils et méthodes suivantes pour ne plus risquer de vous y perdre.

Voyons tout de suite quelques exemples tirés des sujets du concours de recrutement de professeur des écoles.

Un seul problème mathématique, plusieurs unités. Exemples.

  1. CRPE2019 - GR2 - P1-PB-Q1 Pour réaliser une dalle en béton, on creuse une surface rectangulaire de terre de longueur L = 4,8 m et de largeur l = 1,5 m sur une profondeur de 25 cm. Quelle est le volume creusé ?
  2. CRPE2019 - GR1 - P2-Ex1-Q3 Un récupérateur d'eau de pluie contient 0,3 m^3 d'eau. Pour arroser un potager, il faut 15 L d'eau par m^2. Indiquer si l'affirmation « Avec l'eau du récupérateur, on peut arroser quatre fois un potager de 5 m^2 » est vrai ou fausse en justifiant la réponse.
  3. CRPE2019 - GR1 - P1-PC-Q1 Une roue a un diamètre total de 54 cm. Calculer la circonférence de cette roue en cm (arrondie au millimètre).
  4. CRPE2018 - GR1 - P1-PB-Q1 La distance d'arrêt d_A d'un véhicule roulant à une vitesse V sur route mouillée est d_A=V\times t_R+0{,}14V^2t_R est le temps de réaction du conducteur en seconde. Sachant qu'un conducteur vigilant a un temps de réaction de 0,75 s, calculer la distance d'arrêt pour un véhicule roulant à 90 km/h sur route mouillée.
  5. CRPE2018 - GR1 - P2-Ex4-Q1 On considère un cube dont la surface totale extérieur mesure 576 cm^2. Indiquer si l'affirmation « Son volume est inférieur à 1 L » est vrai ou fausse en justifiant la réponse.
  6. CRPE2018 - GR1 - P2-Ex1-Q2 Le volume total d'un silo est d'environ 15,6 m^3. Il est rempli de farine d'orge au \frac{6}{7} de son volume total. Une vache mange en moyenne 3 L de farine par jour. L'éleveur possède 48 vaches. Aura-t-il assez de farine pour nourrir ses 48 vaches pendant 90 jours ?

Dans ces différents exemples, la question se pose alors : quelle unité choisir pour traiter le problème mathématique correctement ?

Quelle unité choisir selon le problème mathématique ?

Un cas fréquent est celui faisant intervenir une même grandeur (par exemple une longueur) exprimée dans différentes unités, sous-unités ou multiples de l'unité (en m, cm mm...). C'est le cas de l'exemple 1. Examinons cet exemple d'un peu plus près.

Dans ce problème mathématique, les différentes longueurs sont exprimées dans deux unités de longueur différentes : le mètre et le centimètre. Pour calculer le volume, il faut absolument que toutes les longueurs soient exprimées dans une même unité. Mais laquelle ? Comment choisir ?

Dans l'absolu, on pourrait utiliser n'importe quelle unité de longueur et exprimer toutes les longueurs du problème dans cette même unité. D'autant plus qu'il n'est nullement précisé dans l'énoncé l'unité dans laquelle exprimer le volume à déterminer.

Il faut dans ce cas garder à l'esprit deux points importants :

  1. En premier lieu, toujours utiliser une unité cohérente avec le problème «  physique » traité.
  2. En deuxième lieu : utilisez l'unité nécessitant le moins de conversion, en un mot soyez faignant !

Examinons le premier point. Que signifie une unité cohérente avec le problème « physique » ?


Il faut toujours garder à l'esprit deux règles importantes :
  1. En premier lieu, toujours utiliser une unité cohérente avec le problème «  physique » traité.
  2. En deuxième lieu : utiliser l’unité nécessitant le moins de conversion, en un mot soyez faignant !

Une unité en accord avec la dimension physique du problème mathématique à traiter

Pierre mesure-t-il 1,72 m, 1720 mm ou 0,00172 km ?

Typiquement, vous exprimeriez naturellement la taille d'une personne en mètre. Vous diriez par exemple qu'il mesure 1,72 m. Mais pourquoi naturellement en mètre ?

Tout simplement parce que c'est l'unité de longueur qui permet l'expression de la taille d'une personne avec le plus petit nombre - tout en étant plus grand que un, nous y reviendrons : 1,72 est plus petit que 1720. Attention, je parle ici des valeurs numériques 1,72 et 1720. C'est-à-dire sans tenir compte des unités. Car sinon  évidemment 1,72 m = 1720 mm. On a donc bien 1,72 < 1720. Le mètre est de ce fait l'unité de longueur la mieux adaptée pour exprimer la taille d'une personne.

On s'entend sur la signification de plus petit nombre. Il reste tout de même plus grand que un comme je le disais plus haut, car plus pratique à manipuler. Il ne vous viendrait pas à l'esprit d'exprimer la taille d'une personne en km. Cela donnerait ici 0,00172 km. Certes, plus petit en valeur numérique que 1,72 -  mais tout de même moins commode !

De même, vous n'exprimeriez pas les dimensions :

  • d'une feuille de papier en km, mais plutôt en cm,
  • le poids d'une personne en tonne ou en gramme, mais en kg,
  • la durée d'une journée de travail en seconde ou en années mais en heures.

Cela doit vous sembler évident, intuitif, naturel. Parce que ces unités sont cohérentes (en accord) avec le problème « physique » traité.

Ainsi, si nous revenons à l'exemple 1., cette idée nous incite à choisir le mètre comme unité car les longueur et largeur étant de quelques mètres et la profondeur d'une fraction de mètre, le volume à creuser sera de quelques mètres cube (probablement entre 1 et 9). Et l'on a une intuition, une représentation de ce qu'est 1 m^3 donc de quelques m^3. L'expression de ces longueurs en cm aurait donné une valeur de volume, exprimée en cm^3, 100\times100\times100= 1~000~000 fois plus grande ! Bien sûr, moins perceptible par notre esprit que quelques mètres cube.

Venons-en au deuxième point maintenant. Il est plus parlant celui-là !

Soyez efficace !

Ce point consiste à choisir l'unité nécessitant le moins de conversions d'unité possible. Il faut être faignant, ou plus exactement économe voire efficace !

Toujours dans l'exemple 1., le calcul du volume nécessite que toutes les dimensions soient exprimées dans une même unité de longueur. Deux dimensions sont exprimées en mètre, une en centimètre. Si nous choisissons le centimètre pour exprimer toutes les dimensions, nous aurons les deux longueurs exprimées en mètre à convertir en centimètre. Soit, deux conversions. Si nous choisissons le mètre, nous n'aurons qu'une dimension, à savoir la profondeur, exprimée en centimètre à convertir en mètre. Soit une seule conversion.

Il est par conséquent évidemment plus judicieux de choisir comme unité le mètre pour traiter le problème car nous aurons dans ce cas un minimum de conversion à réaliser.

Garder bien à l'esprit ces deux points lorsque vous serez confronté à un exercice nécessitant des conversions d'unité.

Analysons-en un deuxième. Logiquement, l'exemple 2.

Volume ou capacité ?

Ici, la quantité d'eau à manipuler est exprimée à la fois en unité de volume, mètre cube (m^3), et en unité de capacité ou contenance, le litre (L). Ainsi le volume d'eau disponible est exprimé en m^3 et le volume d'eau nécessaire à l'arrosage de 1 m^2 de potager en L. Or, pour répondre à la question il faut savoir combien de fois on peut prendre 15 L dans 0,3 m^3. Pour cela il faut impérativement les exprimer dans la même unité.

Alors, litre ou mètre cube ?

il est primordial de connaître les trois équivalences entre unité de volume et unité de capacité suivantes : il est primordial de connaître les trois équivalences entre unité de volume et unité de capacité suivantes :

    \[\boxed{1~\mathrm{m}^3=1000~\mathrm{L} \qquad 1~\mathrm{dm}^3=1~\mathrm{L} \qquad 1~\mathrm{cm}^3=1~\mathrm{mL}}\]

 

Elles sont indispensables ! Par conséquent :

Vous ne pouvez sous aucun prétexte en faire l'économie.

Alors, m^3 ou L ?

Un rapide coup d’œil sur les quantités 15 L et 0,3 m^3 nous inciterait naturellement à garder le 15 L et à convertir le 0,3 m^3 en L. En effet, le mètre cube étant une unité plus grande que le litre (puisqu'il correspond à 1000 L d'après l'équivalence), cela nous permettrait d'obtenir un nombre plus grand que un et qui plus est entier. Nous n'aurions plus que des nombres entiers à manipuler : et c'est toujours plus simple que des nombres décimaux.

De plus le litre est une unité plus cohérente avec le problème traité d'arrosage d'un potager. Enfin, le litre est une grandeur plus perceptible que le mètre cube : on visualise plus facilement 1 L qu'un 1 m^3, n'est-ce-pas ?


Nous reviendrons ultérieurement sur d'autres exemples parmi ceux cités en début d'article. Certains nécessitent que l'on s'y penche avec beaucoup d'attention.

Si vous souhaitez que l'un ou l'autre de ces exemples soit traité en particulier, dites-le nous.

N'hésitez pas non plus à nous suggérer des thèmes à expliciter.


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