Les recommandations pédagogiques pour les apprentissages fondamentaux : analyses…

   Voici le titre exact de cette Note de service n° 2019-085 du 28-5-2019 (MENJ - DGESCO A1-1) : un apprentissage fondamental à l'école maternelle : découvrir les nombres et leurs utilisations. Nous voyons ici l'analyse des recommandations pédagogiques qui accompagnent le document. Le texte officiel est en gris.


Texte adressé aux rectrices et recteurs d'académie ; aux inspectrices et inspecteurs d'académie-directrices et directeurs académiques des services de l'éducation nationale ;  aux inspectrices et inspecteurs de l'éducation nationale du premier degré ; aux directeurs des écoles et des établissements d'enseignement privés du premier degré sous contrat ; aux professeurs des écoles et des établissements d'enseignement privés du premier degré sous contrat.

Mathématiques_Net - BO de mai 2019 sur les apprentissages fondamentaux en maternelle.

Dans les apprentissages fondamentaux, parlons des nombres et des numéros...

   Amener chaque enfant à s'approprier peu à peu le concept de nombre, expression de la quantité précise d'objets d'une collection (aspect cardinal), et à savoir que le nombre peut désigner, dans d'autres situations, un rang, une position ou un numéro (aspect ordinal), est l'un des enjeux majeurs de l'école.

    Si nous ne pouvons qu’être d’accord avec la fin de la phrase – « un des enjeux majeurs » – le début est surprenant pour un texte destiné à toute la hiérarchie de personnels en lien avec l’enseignement des mathématiques, jusqu’aux plus concernés, les enseignants. Au moins trois commentaires doivent être faits :

Les nombres ne sont pas l'expression d'une quantité... Les nombres ne sont pas l'expression d'une quantité...
En effet, comme l’explique très clairement Stella Baruk dans son Dictionnaire des mathématiques élémentaires (Seuil, 1995), les nombres sont une idée, une idéalité plus exactement, tout comme le plan ou la droite en géométrie. Ils sont une création intellectuelle.

   Par conséquent, ils peuvent devenir « l’expression de la quantité » lorsqu’on est, dans la vie courante, amené à parler de nombre de quelque chose. Mais les restreindre à une collection d’objets risque fort de nuire au « concept de nombre » lesquels peuvent aussi mesurer ou comparer. Ces nombre-de, comme les appelle Stella Baruk, servent effectivement à mesurer, compter, classer, comme dix chapeaux ou 90 kilomètres à l’heure. Quand on parle de nombre, on est en mathématique.

Définition du nombre

   Ainsi, la définition donnée dans son Dictionnaire par Stella Baruk devrait-elle être employée lorsqu’on s’adresse aux enseignants :

Mathématiques-Recommandations Pédagogiques sur les apprentissages fondamentaux : Définition d'un nombre

Lorsque ces nombres sont suivis de ce qu’ils comptent, évaluent, mesurent, suivons S. Baruk et appelons-les des nombres-de.

Un nombre n'est pas un numéro... Un nombre n'est pas un numéro...
En effet, disons-le très nettement : un numéro n’est pas un nombre et vice-versa…

   Par ailleurs, un numéro n’est pas un nombre et vice-versa… Par conséquent, un nombre ne désigne ni un numéro, ni un rang… Un numéro est un repère dans une succession de quelque chose. Ce repère peut se visualiser par un drapeau, par un dessin, par des cailloux... par n’importe quoi qui permettent un repérage clair et sans ambiguïté. Pour des raisons pratiques, de commodité et historiques, les numéros sont, chez nous la plupart du temps, désignés, à l’écrit avec des chiffres. Et c’est bien la seule similitude qu’ils ont avec les nombres et les nombres-de…

  Et même lorsqu'on parle du bus 315 ou du numéro 978645312 d'un abonné par exemple, il n'y a aucune obligation de les nommer comme on le ferait obligatoirement pour des nombres. Ainsi, le numéro 315 peut se dire, au choix, « trois, un, deux » ou « trente-et-un, cinq » ou « trois, quinze » ou « trois cent quinze »... Et lorsqu'un numéro contient cinq, six ou plus chiffres, il est rare de le prononcer spontanément avec les mots million ou mille. Mais ce choix n'existe pas pour les nombres, car on les nomme comme ils sont construits.

Cardinal, adjectif de la langue numérale, ne fait pas nécessairement partie des apprentissages fondamentaux...

Un cardinal, un ordinal ne sont pas des aspects... Un cardinal, un ordinal ne sont pas des aspects...
Enfin, mettons de suite de la clarté dans un verbiage aussi peu rigoureux que mathématique : il n’y a pas d’« aspect cardinal » ou d’« aspect ordinal » d’un nombre… Ces deux mots – employés comme des adjectifs - précisent que les adjectifs numéraux a) comptent des nombres pour le cardinal ou b) indique un rang, pour l’ordinal.

  Ainsi, dans la phrase « dix pommes sont dans le troisième panier », l’analyse grammaticale donne : dix, adjectif numéral cardinal ; troisième, adjectif numéral ordinal.

  Par ailleurs en mathématique, le cardinal est un mot utilisé dans un cas très précis (voir par exemple la page wikipedia d'un nombre cardinal, dans un premier temps, ou la définition qu’en donne Stella Baruk dans son dictionnaire) : pour définir le nombre commun d’éléments à plusieurs ensembles. Parler de cardinal, présuppose par conséquent, qu’on se place dans une approche ensembliste… Ce qui est pourtant radicalement défendu depuis la contre-réforme d’il y a environ quarante ans…

   Pour résumer, un nombre est distinct d'un nombre-de et d’un numéro, même si tout trois sont transcrits, à l’écrit par les mêmes chiffres. On exprime le cardinal d'un ensemble par un nombre, lorsqu'on aborde une notion à l'aide de la théorie des ensembles.

Connaître les quantités ou les nombres ?

   Dans cet apprentissage des nombres, appréhender, comprendre et connaître les quantités jusqu'à dix doivent former un socle solide pour les apprentissages ultérieurs et nécessitent toute l'attention des professeurs pendant tout le cycle 1.

    Il serait bien plus approprié de se concentrer sur la connaissance des relations entre les nombres inférieurs à dix, plutôt que de « connaître les quantités ». Cela formerait effectivement un « socle solide » pour aborder les relations entre nombres au-delà de dix. Car ces relations passent par les opérations qui prennent ainsi du sens. En effet, puisque, par exemple, douze est l’addition des nombres dix et deux (que l’on peut illustrer, si l’on veut par des nombres-de, comme des nombres de pommes, de voiture, de ballons… dix pommes et deux pommes) , il faut en passer par le sens d’une addition pour obtenir ce nombre.

Mathématiques_Net - logo du MEJS - Commentaires sur les apprentissage fondamentaux, BO de mai 2019

Pour construire un savoir, au stade des apprentissages fondamentaux, l'oral précède toujours l'écrit...

   En fin de grande section, les élèves doivent avoir appris à réaliser, à comparer ou à quantifier des collections, à lire l'écriture chiffrée des nombres au moins jusqu'à dix, à ordonner les nombres et à dire combien il faut ajouter ou soustraire pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix. La construction de ces compétences est liée à la découverte du concept de nombre et à l'appropriation des compositions et décompositions des quantités jusqu'à dix, sans exclure un travail de comparaison sur des collections plus grandes.

   Les exercices proposés amèneront à la découverte des nombres-de, pas des nombres à proprement parler. Et si, de plus, l’écrit chiffré arrive immédiatement, il y a fort à parier que le résultat sera celui d’aujourd’hui (voir cet exemple, ou celui-ci) : aucun sens, ni au nombre, ni aux opérations.

   Car l’oral précédant l’écrit chez les tous les êtres humains, il est évident que le sens des idées, la pensée, est porté par la langue : cette pensée est donc développée par et à l’oral. C’est pourquoi un enfant de maternelle sait ce qu’est une chaise, même s’il ne sait pas transcrire à l’écrit le mot la désignant.

   En mathématique, bien sûr, il en est de même, puisqu’il s’agit, non pas d’apprendre un nouveau langage, mais d’élargir sa pensée en appliquant sa réflexion à de nouveaux objets. Ou comme dit Stella Baruk, c'est une autre façon de décrire la réalité.

La langue numérale : dire les nombres à l’oral

  La langue numérale est absolument fondamentale pour accéder au sens des nombres. Et il serait très dommageable aux jeunes élèves de renvoyer son étude en cours de français uniquement, sans leur donner à entendre les adjectifs numéraux qui permettent pourtant de dire les mathématiques. Donc de les penser. Pour finalement pouvoir les écrire.

Par ailleurs, soyons précis : d’après le texte les « compétences » dont il est fait mention regroupent :

  • réaliser, comparer ou quantifier des collections ;
  • lire l'écriture chiffrée ;
  • ordonner les nombres ;
  • dire combien il faut ajouter ou soustraire.

   Or, ces compétences ne sont pas « liées à la découverte » ou « à l'appropriation des compositions et décompositions des quantités jusqu'à dix », elles en sont - au contraire ! - des conséquences. C’est-à-dire que le travail sur la composition des nombres va permettre d’avancer sur la compréhension du concept de nombre ; ce qui induira le développement des compétences citées.

  Qu’il serait d’ailleurs souhaitable de hiérarchiser. Car savoir lire l’écriture chiffrée - en tout cas pour les petits nombres dont il est question ici - n’est pas dépendant de la compréhension du concept de nombre. Nous le voyons plus bas. Réaliser ou comparer des collections, c'est-à-dire des ensembles d'objets non plus.

  Alors que quantifier un ensemble et dire combien ajouter sont bien sûr étroitement liée au concept de nombre et au sens de l'addition, mais dans l'autre sens : elles construisent ce concept, elles ne sont pas des compétences induites.

Parmi les apprentissages fondamentaux : un nombre n'est pas un numéro...

En fin d'école maternelle, les élèves doivent aussi savoir utiliser le nombre pour exprimer et comparer un rang, pouvoir dire la suite orale des nombres jusqu'à trente et positionner des nombres sur une ligne numérique. Le développement de ces capacités doit être assuré à l'école maternelle, tout au long du cycle, à travers le jeu et la résolution de problèmes concrets.

   Il est regrettable d’insister autant, surtout si c’est pour s’assurer que tous les élèves intègrent cette erreur : un nombre ne permet pas de comparer des rangs.

   Par ailleurs, dire la suite des nombres, à l’oral ou positionner les écritures chiffrées sur une ligne numérique comporte deux écueils malheureux dont les élèves ne se défont pas facilement.

Permettre d'entendre les ruptures... Permettre d'entendre les ruptures...
Le premier est de ne faire entendre aucune coupure, aucun changement, rien de spécial en passant de dix à onze ou de dix-neuf à vingt. Les enfants apprennent la comptine linéairement, sans pouvoir se rendre compte que quelque chose se passe. Or, dans notre système il y a précisément une rupture fondamentale à chaque passage de dizaine.

La masquer aux jeunes élèves ne les aide certainement pas à comprendre la construction des nombres dans notre système ensuite.

La ligne numérique ne dit rien des nombres

Permettre de voir les ruptures... Permettre de voir les ruptures...
La ligne numérique comporte le même danger, mais cette fois visuellement. Elle ne montre pas de rupture dans l’écriture des nombres, qui est pourtant liée structurellement à la rupture dans la construction des nombres. Lorsque les chiffres se suivent les uns les autres, avec la même évolution entre « 8 » et « 9 » qu'entre « 9 » et « 10 » et « 10 » et « 11 » ou entre « 20 » et « 21 », comment les jeunes élèves peuvent-ils deviner que, là, se joue précisément toute la base d’un système ?.

   Car « l'appropriation des compositions et décompositions des quantités » ne peut passer que par la construction des nombres, et, bien sûr, par le rôle fondamental et pivot que joue le nombre dix.

   La présente note de service exprime des recommandations dans ce sens, en cohérence avec le programme d'enseignement de l'école maternelle : www.education.gouv.fr/pid25535/bulletin_officiel.html?cid_bo=86940

Une priorité : stabiliser la connaissance des petits nombres jusqu'à dix

Dénombrer signifie littéralement « déterminer le nombre de ». À l'école maternelle, la stabilisation de la notion de nombre s'exprime à travers la capacité de l'élève à :

   Il est clair dans ce début de paragraphe, que l’enseignement porte sur les nombres-de et non sur les nombres. Nous ne sommes donc pas encore en mathématique. Ce qui n'est pas choquant en maternelle, mais qui est pourtant affirmé.

Par ailleurs, penser « stabilisation » suppose que la « notion de nombre de » est déjà là… Ne doit-on pas plutôt parler de découverte ?

- donner, montrer ou prendre un nombre donné d'objets ;

- déterminer le cardinal d'un ensemble d'objets ;

Disons, plus simplement « déterminer le nombre d’objet qu’il voit », ce qui revient à verbaliser la réponse à l’exercice précédent…

   Le cardinal d’un ensemble : voir la première remarque à propos du cardinal... On parle bien en terme ensembliste, bien qu'officiellement, cela soit supprimé des pédagogies successives depuis quarante ans...

- comparer avec précision des collections entre elles ;

- décomposer / recomposer les nombres (il sait par exemple que 4 c'est 2 et 2 et que le total de deux groupes de 2 objets fait 4) ;

- et utiliser ces compétences pour résoudre des problèmes concrets.

Confondre une capacité innée avec la construction d'un savoir qui lui ressemble...

Dès la naissance, l'enfant est capable d'estimation et de comparaison perceptive et globale des grandeurs. Cette capacité perceptive n'a pas la précision du dénombrement ou du calcul mais elle constitue une base qui permet de proposer très tôt aux élèves d'apprendre à estimer des ordres de grandeurs et à les comparer en utilisant les concepts et le vocabulaire approprié (beaucoup, pas beaucoup, plus, moins, autant, beaucoup plus, etc.). Les ordres de grandeurs et les comparaisons sont, durablement, des clés pour accéder aux concepts mathématiques.

   Ce paragraphe est peut-être symptomatique d’un certain emballement ou raccourci typique du pédagogisme qui croit, envers et contre tout, à la possibilité d’un transfert direct entre une découverte neurologique et une méthode d’enseignement…

   Les tout jeunes enfants, voire les bébés ont en effet une capacité innée à reconnaître qu’il y a plus d’objets lorsqu’ils en voient cinq que lorsqu’ils en voient trois. Pourtant, cette capacité n’est pas de l’estimation à proprement parler. Seulement de la « comparaison perceptive et globale ». En effet, l’estimation suppose que la notion de nombre soit bien établie au préalable. Et que celui qui estime cherche bien, et volontairement, à trouver à quel nombre correspond l’ensemble d’objets qu’il voit, plus rapidement qu’en les comptant. Ce qui n’est sûrement pas le cas des jeunes enfants avant qu’ils sachent même qu’ils pourront donner ce nombre bientôt...

Quel ordre de grandeur avec les petits nombres ?

   Par ailleurs, estimer un ordre de grandeur n’a de sens que lorsque les nombres deviennent grands ou qu’un calcul un tant soit peu élaboré intervient. Il n’y a pas beaucoup de sens, voir aucun, à donner un ordre de grandeur lorsque l’on voit trois, cinq, ou dix objets – c’est le thème de ce chapitre. Par contre, lorsqu’il s’agit de mesure – et donc plus de comptage - on peut faire sentir aux enfants ce qu’est un ordre de grandeur. Même avec une distance d’une dizaine de mètres. Mais ceci n’est à priori pas considéré dans ces recommandations.

   Si par vocabulaire approprié, on se contente de mots aussi mathématiques et précis que « beaucoup », « pas beaucoup » etc, on risque fort d’arriver à ce que l’on constate aujourd’hui : une pauvreté de vocabulaire qui emprisonne l’esprit et le raisonnement dans des pensées aussi simplistes que « c’est plus grand »… même au collège !

Mathématiques-Recommandations pédagogiques sur les apprentissages fondamentaux : vocabulaire de la quantification - Manuel Abadie & Brossat1958

Le vocabulaire recommandé en 1958 dans un manuel destiné aux enfants de quatre à cinq ans. Mmes Abadie et Brossat, Livret pédagogique, Armand Colin, 1958  (Manuels anciens)

Pourquoi ne pas proposer du vocabulaire précis et porteur de sens comme celui indiqué « plus, moins, autant » mais également s’acheminer grâce à ce vocabulaire vers les mathématiques : « inférieur, supérieur, égal » ?

   Pour finir, ce paragraphe suggère de comparer les ordres de grandeurs comme « clés pour accéder aux concepts mathématiques »… Au niveau où s’applique ces recommandations – en maternelle ! - ne serait-il pas beaucoup plus judicieux de comparer les nombres eux-mêmes, comme autant d’exercices qui éclairent la notion de nombre ?

Avant que d’écrire, apprenez à penser

La mise en correspondance des quantités avec des systèmes de symboles pose problème à tous les élèves, qu'il s'agisse de la suite orale des noms de nombres, des configurations de doigts, des abaques ou des chiffres arabes.

   Voilà une affirmation intéressante mais péremptoire… Car chacun connaît autour de soi plusieurs enfants - et heureusement - qui n'ont aucune difficulté avec cette « mise en correspondance ». Cela revient à affirmer que tous les élèves ont des difficultés à traduire à l’écrit le sens de ce qu’ils entendent. Gageons bien plutôt que beaucoup d'élèves sont mis en difficulté, et souvent, malheureusement, ne s’en sortent pas seuls.

   De quelle correspondance s’agit-il ? De quels « systèmes de symboles » parle-t-on ? S'il s'agit de savoir dire « quatre crayons » alors, ce n'est pas un symbole : il s'agit bien plutôt de la langue numérale, employé au quotidien. C'est la base. Les configurations de doigts ne posent pas vraiment de problèmes aux élèves. Voir à ce propos, précisément la pédagogie de Stella Baruk, basée sur cette reconnaissance intuitive par les enfants. Quant aux chiffres arabes, s'ils sont présentés un à un, uniquement lorsque le nombre en question est abordé, il s'agit d'un symbole de plus, tout comme les lettres de l'alphabet.Ce n'est pas cela qui met les enfants en difficulté.

   Les difficultés ne viendraient-elles pas de ce que l’on demande d’écrire une pensée inexistante ? Pourtant, Boileau nous a bien mis en garde : « Avant que d’écrire, apprenez à penser ». Écrire des nombres sans comprendre les nombres, voilà une porte grande ouverte sur les difficultés mentionnées.

Cardinal d'un ensemble

En arrivant à l'école maternelle, les élèves peuvent apparemment discriminer à vue d'œil les petites quantités (un, deux et trois), voire énoncer le début de la suite numérique orale, mais ils ne maîtrisent pas pour autant le nombre et le comptage. Ils doivent donc apprendre, d'une part que le nombre (3 par exemple) est indépendant de l'apparence, de la taille, de la forme et de la disposition des objets de la collection ou de l'espace qu'ils occupent,

   C’est-à-dire que le nombre n’est pas un nombre-de Le nombre est indépendant, non pas « de l'apparence, de la taille, de la forme et de la disposition des objets » mais indépendant des objets eux-mêmes...

d'autre part que « trois » correspond à un cardinal précis, incluant « un », « deux », « trois ».

   Un nombre ne correspond pas à un cardinal, cette phrase est pour le moins étrange… Un cardinal est - par définition - exprimé par un nombre, celui des éléments d’un ensemble. Or, un nombre est construit à partir d’autres nombres.  Alors, ces constructions permettent d’appréhender que – reprenons l’exemple donné – pour obtenir trois, je dois d’abord avoir un et deux.

Ce n’est donc pas que trois « inclut » un et deux, c’est que un et deux construisent trois.

Nostalgie

Cet apprentissage implique de multiplier et de varier les sollicitations, il doit être réalisé successivement pour chacun des nombres jusqu'à dix, au moins.

   Cela est effectivement primordial pour une approche solide : successivement est le point clé qui fait d’ailleurs étrangement penser aux progressions proposées depuis le XIXiè siècle jusque dans les années soixante-dix en primaire... Le ministre serait-il nostalgique ?

Mathématiques-Recommandations pédagogiques sur les apprentissages fondamentaux : Manuel A. Chatelet, programme 1934-Pour apprendre les nombres, maternelle et CP

Manuel A. Chatelet, 1934, Pour apprendre les nombres. À l'usage des maîtres des écoles maternelles et cours préparatoires (Manuels anciens)

Cardinal et décompositions

Les activités ayant pour but la construction de l'aspect cardinal des nombres visent la construction progressive des quantités jusqu'à cinq puis jusqu'à dix, en s'attachant à travailler la composition, la décomposition et la recomposition de ces petites quantités (trois, c'est deux et encore un ; un et encore deux ; quatre, c'est deux et encore deux ; trois et encore un ; un et encore trois). Composer/décomposer les nombres est une première étape vers la mémorisation des résultats additifs et multiplicatifs qui sera développée à l'école élémentaire.

   Cette expression est récurrente, mais malheureuse : il n’y a pas « d’aspect cardinal » des nombres, ça ne veut rien dire en mathématique. Ainsi, soit

  • on compare des ensembles, explicitement, et - s’il y a bijection - on sait qu'ils ont le même cardinal,
  • soit on pense à un nombre en particulier qui est construit à partir d’autres nombres,
  • enfin, soit on s’attache aux nombres-de, pour des exemples concrets.

Le comptage, c'est l'addition...

Ces activités, réitérées, installent les liens entre le nom des nombres, l'écriture chiffrée, la reconnaissance des constellations du dé et d'autres constellations liées à la décomposition des nombres (par exemple un domino 4 et 2 pour le nombre 6), la reconnaissance et l'expression d'une quantité avec les doigts de la main, la correspondance terme à terme avec une collection de cardinal connu.

   Encore cette idée de « correspondance terme à terme avec une collection de cardinal connu ». qui suppose que l’on travaille avec des ensembles... Même si pour moderniser, on les appelle, depuis quelques années, des collections : une correspondance ne se fait qu’avec les termes de deux (ou plus) ensembles distincts, dont on cherche à savoir si chaque terme du premier correspond à un terme du second. Ceci repose sur une approche ensembliste, comme on disait dans les années soixante-dix… Mais à présent, il est « interdit » de parler tel quel… Du moins depuis la contre-réforme des années quatre-vingt, quatre-vingt-dix…

   Or, pour connaître le nombre d’objets que l’élève a devant lui, il faut les additionner un à un, comme il fait probablement dans la vie quotidienne. Il pointe le premier et dit « un ». En choisit un autre et sait (ou le travaille) qu'un objet et un objet de même nature font deux objets. Alors, il dit « deux ». Et il sait aussi que deux objets auxquels il ajoute un autre du même type seront désignés par « trois objets ».

Cette façon de dénombrer est basée sur le comptage, de un en un. Donc sur l’addition, puisque chaque nouvel objet permet d’additionner un au nombre précédent.

Le repérage visuel, c'est autre chose.

   Mais la correspondance terme à terme fonctionne sur un autre principe. En effet, on suppose que l’ensemble des noms des nombres est connu de l’enfant : c’est la suite de mots « un, deux, trois, quatre... ». Ensuite, on lui demande de pointer chaque objet et d’y coller un mot. Il choisit un premier objet et dit « un », il pointe un autre objet et dit « deux » etc.

   Notons que cette approche ne repose en rien sur une opération, ni sur les nombres à proprement parler. Il s’agit d’appareiller des mots et des objets, comme si on faisait correspondre les noms des jours de la semaine avec un ensemble d’images, ou d’objets divers.

Mathématiques-Recommandations pédagogiques sur les apprentissages fondamentaux - Qu'est-ce qu'un cardinal ?

   On demande donc à des jeunes de maternelle d’appliquer la définition du « cardinal » et d’utiliser la propriété bien connue d’équipotence pour en déduire que, s’ils trouvent une correspondance terme à terme avec le second ensemble, alors, le premier a le même nombre d’éléments que le second…Encore une fois, cela ne donne finalement le cardinal à l'unique condition que l'on connaisse déjà le nombre d'éléments d'un des deux ensembles... Qu'il aura donc fallu compter avant...

    Comment faire simple, quand on peut faire compliqué… Et pourquoi donner du sens aux nombres par leurs constructions, grâce à l'addition et décompositions, quand on peut établir des correspondances terme à terme… Pédagogisme ou séquelle de l’approche ensembliste ?

Pas de symboles à l'oral...

Une bonne connaissance des symboles des nombres, à l'écrit comme à l'oral, et la capacité à passer rapidement des symboles à la quantité correspondante, sous diverses formes, nécessitent des répétitions quotidiennes et seront des compétences clés pour calculer de façon efficace.

   Notons ici une ambiguïté, au mieux, une incompréhension au pire : « des symboles des nombres, à l'écrit comme à l'oral » amène à se demander ce que sont les symboles des nombres à l’oral ? Car les symboles n'existent que pour la traduction écrite. À l’oral, seul des mots désignant les nombres doivent être connus, c'est la langue numérale…

Des activités mettant en œuvre le processus d'itération de l'unité (7 c'est 6+1), qui donnent sens à la relation d'ordre entre les nombres (7 c'est plus petit que 8, ou 7 c'est moins que 8), sont aussi proposées.

   Jusqu’à preuve du contraire, « le processus d'itération de l'unité » ne donne pas de sens à la relation entre les nombres : elle structure cette relation ! Car par définition, sept est le nombre qui suit six lorsqu’on lui ajoute une unité…

Il ne s’agit donc pas de donner du sens, mais de faire découvrir la structure même des nombres...

L’apprentissage fondamental des nombres et la suite numérique

En complément, on développe la connaissance de la suite orale des noms de nombres (a minima jusqu'à trente à la fin de la grande section).

Dénombrer est une compétence complexe qui met en lien plusieurs connaissances et compétences qui s'acquièrent en parallèle. La connaissance de la suite orale des noms de nombres ne suffit pas pour qu'un élève parvienne à dénombrer ou constituer à coup sûr une collection d'objets d'une quantité donnée.

   Disons même que la « connaissance de la suite orale des noms de nombres » ne sert absolument à rien pour dénombrer des objets. Au mieux, elle désoriente ; au pire elle enferme – déjà – les élèves dans un automatisme verbal qui les éloigne d’une quelconque pensée numérique. Une sorte de poème à la Prévert...

Un apprentissage fondamental : le cardinal

Au-delà de la capacité de faire abstraction de certaines propriétés des objets de la collection à dénombrer (compter une grosse bille comme une petite, une bille bleue comme une rouge, etc.)

   Il ne s’agit pas là d’une capacité qui serait innée, mais d’un apprentissage : c’est même le sens de l’addition. Car lorsqu’on dénombre une collection, on additionne les objets entre eux, parce que, et uniquement parce qu’ils ont un point commun. Pour trouver ce point commun, il faut entraîner les élèves à le voir. Ainsi, leur faire sentir qu’il ne peuvent pas compter ensemble des pommes et des poires, mais qu’ils peuvent tout à fait compter ensemble des fruits...

et de la connaissance du principe du cardinal (le dernier mot-nombre énoncé fait référence au nombre total d'objets comptés et pas à un objet particulier),

   Encore un peu de verbiage qui doit faire savant, peut-être… L’expression « mot-nombre » s’est répandue après divers travaux, mais recouvre une idée préexistante : le nom du nombre.

Il est dommageable de vouloir faire trop savant, car on en perd ses petits… et accessoirement les définitions simples.

   Ainsi, dénombrer se fait sur la bases des connaissances acquises sur les nombres : car « dénombrer », c’est « Faire le compte des unités composant un ensemble » (Larousse). Et pour « faire ce compte », il faut… compter ! Dénombrer, c’est donc compter ensemble les unités... Qui est la définition de l’addition. Un objet est pris comme départ, c’est-à-dire est le « un », un autre est choisi – parce qu’il a un point commun et qu’on peut donc l’additionner au premier – et on a donc un plus un objet devant soi. C’est-à-dire deux objets. Car le nombre un additionné au nombre un donne le nombre deux. Quelque soit les objets.

Dénombrer c’est compter, c’est additionner de un en un

   Il n’existe pas de « principe du cardinal », sauf à considérer une définition comme un principe…
En effet, la seule conclusion que l'on peut tirer si la correspondance terme à terme se fait exactement, c'est que les deux ensembles ont le même cardinal (ils sont alors dits équipotents). Mais ça ne dit pas quel est ce cardinal, c'est-à-dire quel est le nombre d'éléments. Pour cela, il faut compter le nombre d'éléments dans un des deux ensembles. Et alors, on sait que le deuxième aura le même nombre d'élément.

   Mais puisqu'il faut de toute façon compter, pourquoi passer par la correspondance ? Car ce qui est proposé ici - à des élèves de maternelle ! - est :

  1. 1/ je te dit que cet ensemble contient X éléments,
  2. 2/ tu dois constater que chaque éléments de cet ensemble correspond à un objet devant toi,
  3. 3/ déduis-en qu'ils ont le même cardinal,
  4. 4/ enfin, conclues-en alors que tu as X objets devant toi...

   Comment créer des difficultés et travailler ardemment ensuite pour découvrir le principe pédagogique qui permettrait de les dépasser… Le dernier mot prononcé ne devient une difficulté que lorsqu’on cherche, non pas à dénombrer (donc trouver un nombre à partir d’autres nombres) mais à faire une correspondance terme à terme entre... des mots et des objets... activité hautement mathématique, s’il en est...

   Utiliser la correspondance pour travailler les notions de comparaisons s'entend effectivement. L'utiliser pour dénombrer est une source de difficultés.

Exercice visuel d’observation… mais pas d'activité mathématique

l'enfant doit maîtriser la synchronisation du pointage des éléments de la collection avec la récitation des noms des nombres et apprendre à énumérer tous les éléments de la collection (pointer une et une seule fois, sans en oublier).

   La difficulté dans laquelle on met les enfants, c’est bien de les faire dénombrer en récitant. Sans lien avec une quelconque activité mathématique passant par l'addition…


La suite de cette analyse, c'est par ici...


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